x-t グラフと v-t グラフ

1表から作る x-t グラフ

横軸に時刻、縦軸に位置をとったグラフが x-t グラフで、その傾きが速度です。

時刻 0 に原点を出発し、速度 +2 m/s で進む物体を考えます。1 秒ごとの位置は、次の表のようになります。

横軸に時刻 t、縦軸に位置 x をとり、表の4つの組を点として打ちます。たとえば時刻 2 s、位置 +4 m の組は、点(2 s, 4 m)になります。

点(2 s, 4 m)は、「時刻 2 s に、原点から正の向きに 4 m の場所にいる」という意味です。縦軸は高さではなく位置です。点が上にあるほど、位置 x が大きい(より右にいる)ことを表します。

点を結んだ線が x-t グラフです。等速直線運動では、点がまっすぐに並ぶので、x-t グラフは直線になります。グラフの線は、物体が実際に通った道ではありません。物体は一直線の道を進んでいるだけで、グラフは「いつ、どこにいたか」を並べた記録です。

表の時刻 1 s と 3 s を比べます。時刻は 3 − 1 = 2 s 進み、位置は (+6) − (+2) = +4 m 変わっています。グラフでは、これが「横に 2 進むと縦に 4 上がる」ことにあたり、傾きは 4 ÷ 2 = 2 です。一方、前のページの速度は v = Δx / Δt = (+4) ÷ 2 = +2 m/s です。傾き(縦の変化 Δx ÷ 横の変化 Δt)と速度は、同じ計算です。だから x-t グラフの傾きが速度です。

速度が −2 m/s なら、表は 0, −2, −4, −6 m となり、グラフは右下がりになります。右下がりは「負の向きに進んでいる」という意味です。

止まっている物体は、時刻が進んでも位置が変わりません。たとえば x = +5 m で止まっていれば、表は +5, +5, +5, +5 m です。だから、グラフは水平になります。

速度が +2 m/s なら、グラフは 1 秒で 2 m 上がり、+4 m/s なら 4 m 上がります。同じ 1 秒で位置が大きく変わるほど、つまり速さが大きいほど、傾きは急になります。右下がりでも同じで、−4 m/s のグラフは −2 m/s のグラフより急に下がります。

2v-t グラフと変位

横軸に時刻、縦軸に速度をとったグラフが v-t グラフで、グラフと横軸で囲まれた面積が変位です。

時刻 0 に原点を出発し、速度 +3 m/s で 4 s 進む物体を考えます。速度は一定なので、どの時刻でも +3 m/s です。比べるために、前のページの x = vt で求めた位置も並べます。

横軸に時刻 t、縦軸に速度 v をとり、時刻と速度の組を点として打ちます。点(2 s, 3 m/s)は、「時刻 2 s に、正の向きに速さ 3 m/s で進んでいる」という意味です。位置ではありません。速度が一定なので、点は同じ高さに並び、v-t グラフは横軸に平行な直線になります。この線も、物体が通った道ではありません。

時刻 0 s から 1 s までの、グラフと横軸の間の細長い長方形を考えます。縦は 3 m/s、横は 1 s なので、面積は 3 × 1 = 3 です。表では、この 1 秒間に位置が 0 m から +3 m へ、+3 m 変わっています。1 秒分の面積が、1 秒間の変位と同じです。

0 s から 4 s までの長方形は、縦 3 × 横 4 = 12 です。表の 4 s 間の変位は 12 − 0 = +12 m で、面積と同じです。これは前のページの x = vt(3 × 4 = 12)と同じ計算です。長方形の面積(縦 v × 横 t)が vt になっているからです。単位も、m/s × s = m で、長さの単位になります。

速度が −3 m/s なら、点は横軸より下に並び、長方形も横軸より下にできます。このときの面積は (−3) × 4 = −12 と、負の値として数えます。負の向きに 12 m 進んだ、つまり変位 −12 m という意味です。

面積が表すのは、その時間の間の変位(位置の変化)です。時刻 0 に原点にいたときだけ、面積がそのまま位置にもなります。

3平均の速さと平均の速度

平均の速さは「道のり ÷ かかった時間」、平均の速度は「変位 ÷ かかった時間」で、折り返す運動では大きさが違います。

実際の運動では、途中で速さや向きが変わることがよくあります。そのようなときは、全体をならした値として「平均」を使います。

平均の速さは、道のりをかかった時間で割ったものです。前のページの「速さ = 移動距離 ÷ かかった時間」と同じ計算です。平均の速度は、変位をかかった時間で割ったものです。前のページの速度と同じ v = Δx / Δt の形ですが、速度が途中で変わるときは、これを平均の速度と呼びます。平均の速さは道のりで割るので符号がなく、平均の速度は変位で割るので符号があります。

原点を出発した人が、10 s かけて x = +30 m まで歩き、次の 10 s で原点に戻ったとします。次の表に、行き・帰り・全体の値をまとめます。

全体の平均の速さは 60 ÷ 20 = 3.0 m/s です。全体の平均の速度は 0 ÷ 20 = 0 m/s です。ずっと歩いていたのに 0 m/s になるのは、出発点に戻って変位が 0 だからです。

途中で向きを変えない運動では、道のりと変位の大きさが同じなので、平均の速さと平均の速度の大きさも同じになります。負の向きにだけ進んだときも、大きさは同じで、平均の速度にマイナスが付くだけです(例: −3.0 m/s で 4.0 s 進むと、平均の速さ 3.0 m/s、平均の速度 −3.0 m/s)。折り返すと、道のりのほうが変位の大きさより長くなるので、平均の速さのほうが大きくなります。

発展 瞬間の速度

瞬間の速度は、時間の幅を短くしながら平均の速度を調べていったときに、近づいていく値です。

坂を転がり始めたボールのように、だんだん速くなる運動を考えます。時刻 t 秒のときの位置が t² m(t × t m)になる運動だとすると、位置は次のようになります。

1 秒ごとに進む長さが 1, 3, 5, 7, 9 m と増えているので、だんだん速くなっています。

表の点を打つと、x-t グラフは直線ではなく、曲がった線になります。点 P(2 s, 4 m)は、「時刻 2 s に、原点から正の向きに 4 m の場所にいる」という意味です。

知りたいのは、時刻 2 s のちょうどその瞬間の速度(瞬間の速度)です。しかし、一瞬の間には時間も変位も 0 なので、「一瞬の変位 ÷ 一瞬の時間」は計算できません。そこで、一瞬を割り算するのではなく、P から少しだけ後の点 Q までの、短い時間の平均の速度を調べます。

P から Q までの時間を Δt とすると、平均の速度は Δx ÷ Δt です(項目3の「平均の速度 = 変位 ÷ かかった時間」)。x-t グラフでは、これは P と Q を結ぶ直線 PQ の傾きです(項目1と同じく、縦の変化 ÷ 横の変化で求めます)。

Δt を 2.0 s、1.0 s、0.5 s、0.1 s と小さくしていくと、次のようになります。

平均の速度は 6.0、5.0、4.5、4.1 m/s と、だんだん 4.0 m/s に近づいていきます。この近づいていく値 4.0 m/s が、時刻 2 s での瞬間の速度です。

Q を P へ近づけていくと、直線 PQ の傾きが 4.0 に近づき、直線 PQ そのものもある1本の直線に近づいていきます。この「Q を P へ近づけたとき、直線 PQ が近づいていく直線」を、P での接線といいます。だから、瞬間の速度は x-t グラフの接線の傾きです。車のスピードメーターが示しているのは、この瞬間の速さ(瞬間の速度から符号を取ったもの)です。